\section{同构}

\begin{frame}{欧氏空间的同构}
我们来建立欧氏空间同构的概念。
\begin{definition}
  实数域 $\symbf{R}$ 上欧氏空间 $V$ 与 $V^{\prime}$ 称为\emph{同构}的，如果存在一个映射 $\sigma\colon V\rightarrow V'$,满足
  \pause
\begin{enumerate}
    \pause 
  \item $\sigma$是双射；
    \pause
    \item $\sigma( \alpha+ \beta)=\sigma( \alpha)+\sigma( \beta)$;
      \item $\sigma(k  \alpha)=k \sigma( \alpha)$;
        \pause
      \item $\pair{\sigma( \alpha), \sigma( \beta)}=\pair{ \alpha,   \beta}$.
    \end{enumerate}
    其中 $ \alpha,  \beta \in V, k \in \symbf{R}$, 这样的映射 $\sigma$ 称为 $V$ 到 $V^{\prime}$ 的\emph{同构映射}。
\end{definition}
\pause
(2), (3) 说的是$\sigma$线性，(4) 说的是$\sigma$保持内积。
\pause
故欧氏空间的同构就是保内积的线性同构。
\end{frame}

\begin{frame}
容易发现欧氏空间之间的同构关系是等价关系，即同构关系具有自反性、对称性、传递性，
\pause
因为我们有如下事实：
\begin{lemma}\label{180}
\begin{enumerate} 
  \item 恒等映射是欧氏空间到自身的同构。
\item  欧氏空间之间的同构映射的逆也是同构映射。
\item 欧氏空间之间的同构映射的复合还是同构映射。
\end{enumerate}
\end{lemma}
\pause
\begin{proof}
  令$\sigma\colon V\rightarrow V'$是欧氏空间$V$到欧氏空间$V'$的同构。
  既然$\sigma$是线性空间的同构，我们已知$\sigma^{-1}$是线性空间的同构。
  要证明$\sigma^{-1}$是欧氏空间的同构，我们还需证明$\sigma^{-1}$保内积。诚然，
对$ \alpha,  \beta \in V^{\prime}$, 有
\[
  \pair{ \alpha,   \beta}=\pair{\sigma\left(\sigma^{-1}(\alpha)\right), \sigma\left(\sigma^{-1}( \beta)\right)}=\pair{\sigma^{-1}( \alpha), \sigma^{-1}( \beta)}.
\]

令$\tau\colon V'\rightarrow V''$又是一个欧氏空间之间的同构。
我们知道$\tau\sigma$是线性空间之间的同构。实际上，$\tau\sigma$还保持内积，从而$\tau\sigma$是欧氏空间的同构。诚然，
对$\alpha, \beta\in V$, 
\[
  \pair{\tau\sigma(\alpha), \tau\sigma(\beta)} = \pair{\sigma(\alpha), \sigma(\beta)} = \pair{\alpha,\beta}.
\]
\end{proof}

%\iffalse
%\pause
%  \emph{同构作为欧氏空间之间的关系是等价关系}，即同构关系具有：
%  \pause
%\begin{enumerate}
%  \item 自反性： 
%\pause
%    每个欧氏空间到自身的恒等映射显然是一同构映射。
%\pause
%  \item 对称性：
%\pause
%    设 $\sigma$ 是 $V$ 到 $V^{\prime}$ 的一同构映射， 我们知道， 逆映射 $\sigma^{-1}$ 也适合定义中 (1) 与 (2) (第六章 \S8), 而且对于 $ \alpha,  \beta \in V^{\prime}$, 有
%\[
%  \pair{ \alpha,   \beta}=\pair{\sigma\left(\sigma^{-1}(\alpha)\right), \sigma\left(\sigma^{-1}( \beta)\right)}=\pair{\sigma^{-1}( \alpha), \sigma^{-1}( \beta)}.
%\]
%这就是说， $\sigma^{-1}$ 是 $V^{\prime}$ 到 $V$ 的一同构映射， 因而同构关系是对称的。
%\pause
%\item 传递性：
%\pause
%  设 $\sigma, \tau$ 分别是 $V$到 $V^{\prime}, V^{\prime}$ 到 $V^{\prime \prime}$ 的同构映射。不难证明， $\tau \sigma$ 是 $V$ 到 $V^{\prime \prime}$ 的同构映射{\verify}，因而同构关系是传递的。
%  \end{enumerate}
%
%
%\iffalse
%设 $V$ 是一个 $n$ 维欧氏空间，在 $V$ 中取一组标准正交基 $\varepsilon_{1}, \varepsilon_{2}, \cdots, \varepsilon_{n}$, 在这组基下， $V$的每个向量 $ \alpha$ 都可表成
%\[
% \alpha=x_{1}  \varepsilon_{1}+x_{2}  \varepsilon_{2}+\cdots+x_{n}  \varepsilon_{n} .
%\]
%令
%\[
%\sigma( \alpha)=\left(x_{1}, x_{2}, \cdots, x_{n}\right) \in \symbf{R}^{n} .
%\]
%我们知道， 这是 $V$ 到 $\symbf{R}^{n}$ 的线性同构。 上一节 (3) 式说明 $\sigma$ 保内积, 因而 $\sigma$ 是 $V$ 到 $\symbf{R}^{n}$ 的一个同构映射， 由此可知，\emph{每个 $n$ 维的欧氏空间都与 $\symbf{R}^{n}$ 同构}。
%而且$n$ 维的欧氏空间上的内积都是$\symbf{R}^{(n)}$上的标准内积（即点乘定义的内积）所诱导的。
%\fi
%\fi
\end{frame}

\begin{frame}
\begin{lemma}
  \begin{enumerate}
    \item 同构的欧氏空间必有相同的维数。
      \pause
    \item 每个 $n$ 维的欧氏空间都与 $\symbf{R}^{(n)}$带上标准内积（即点乘）这个欧氏空间同构。
      \pause
    \item $n$ 维的实线性空间上的内积都可$\symbf{R}^{(n)}$上的标准内积诱导得到（证明中可见含义）。
  \end{enumerate}
\end{lemma}
\pause
\begin{proof}
  \begin{enumerate}
    \item 按定义欧氏空间的同构是线性空间的同构，从而同构的欧氏空间必有相同的维数。
    \item 令$V$是$n$维欧氏空间。取$V$的标准正交基$\symbb{B}$. 我们有线性同构
      \[
        \sA\colon V\mapsto \symbf{R}^{(n)}, \quad \symbb{B} X\mapsto X,
      \]
      且对$\alpha=\symbb{B} X, \beta=\symbb{B} Y$有$\pair{\alpha, \beta}=X^{\rT} Y$.
      因此$\symbf{R}^{(n)}$带上标准内积时，$\sA$是保内积的线性同构。从而$V$与$\symbf{R}^{(n)}$作为欧氏空间同构。
    \item 取定$n$维实线性空间$V$的一组基$\symbb{B}$. 我们有线性同构
      \[
        \sA\colon \symbf{R}^{(n)} \rightarrow V,\quad X\mapsto \symbb{B} X.
      \]
      通过此同构我们可以把$\symbf{R}^{(n)}$上的标准内积推到$V$上去，即对$\alpha=\symbb{B} X,\beta=\symbb{B} Y\in V$,
      定义
      \[
        \pair{\alpha, \beta}\coloneq \pair{X, Y}=X^{\rT} Y. 
\]
      那么由$\symbf{R}^{(n)}$上标准内积的性质可知此配对定义了一个内积，且$\symbb{B}$成了一个标准正交基。反过来，
      如(2)中所见，任一内积都可由此方式给出。
  \end{enumerate}
\end{proof}

\end{frame}
\begin{frame}
  既然每个 $n$ 维欧氏空间都与 $\symbf{R}^{(n)}$ 同构， 按对称性与传递性即得， 任意两个 $n$ 维欧氏空间都同构。 
\pause
综上所述， 就有

\begin{theorem}
两个有限维欧氏空间同构的充分必要条件是它们的维数相同。 
\end{theorem}
\pause
这个定理说明， 从抽象的观点看，欧氏空间的结构完全被它的维数决定。
或者说，维数这一个同构不变量就能够在相差同构意义下分类所有的有限维欧氏空间。

\pause
  \begin{sizheng}
    在代数中，我们在引入一种代数结构时就会相应地提出一种同构的概念。这样的概念能保证具有相同代数结构的同构的对象具有相同的（由该代数结构决定的）性质，实际上在代数中我们往往等同同构的对象（我们也说本质上它们是一样的），而做同构意义下的分类（寻找每个同构类的代表元）是我们常常致力寻求的。我们以前讲过给定维数的有限维向量空间本质上就一个，在讲线性变换一章时我们能等同线性变换和方阵就是通过$n$维$P$-线性空间与$P^{(n)}$的同构实现的。这里我们又讲到了有限维欧氏空间的同构，讲到了$n$维欧氏空间都同构于$\symbf{R}^{(n)}$带上点积给出的这个标准的欧氏空间。

~

``透过现象看本质''是唯物观的基本要求。习总书记在纪念毛泽东同志诞辰120周年座谈会上就讲过：要透过现象看本质，从零乱的现象中发现事物内部存在的必然联系，从客观事物存在和发展的规律出发，在实践中按照客观规律办事。
\end{sizheng}


\end{frame}

\begin{frame}{小结}
\begin{enumerate}
  \item 何为欧氏空间的同构？欧氏空间相差个同构的分类如何（或者说同构类有何代表元）？
\end{enumerate}

~

\pause
\end{frame}
